Intéressant

Utilisation de la probabilité conditionnelle pour calculer la probabilité d'intersection

Utilisation de la probabilité conditionnelle pour calculer la probabilité d'intersection

La probabilité conditionnelle d'un événement est la probabilité qu'un événement UNE se produit étant donné qu'un autre événement B a déjà eu lieu. Ce type de probabilité est calculé en limitant l'espace échantillon avec lequel nous travaillons à l'ensemble B.

La formule de la probabilité conditionnelle peut être réécrite en utilisant une algèbre de base. Au lieu de la formule:

P (A | B) = P (A B) / P (B),

on multiplie les deux côtés par P (B) et obtenez la formule équivalente:

P (A | B) X P (B) = P (A ∩ B).

Nous pouvons ensuite utiliser cette formule pour trouver la probabilité que deux événements se produisent en utilisant la probabilité conditionnelle.

Utilisation de la formule

Cette version de la formule est très utile lorsque nous connaissons la probabilité conditionnelle de UNE donné B ainsi que la probabilité de l'événement B. Si tel est le cas, nous pouvons alors calculer la probabilité de l'intersection de UNE donné B en multipliant simplement deux autres probabilités. La probabilité d'intersection de deux événements est un nombre important car c'est la probabilité que les deux événements se produisent.

Exemples

Pour notre premier exemple, supposons que nous connaissions les valeurs suivantes pour les probabilités: P (A | B) = 0,8 et P (B) = 0,5. La probabilite P (A ∩ B) = 0,8 x 0,5 = 0,4.

Bien que l’exemple ci-dessus montre comment fonctionne la formule, il n’est peut-être pas très utile d’évaluer son utilité. Nous allons donc considérer un autre exemple. Il y a une école secondaire avec 400 élèves, dont 120 hommes et 280 femmes. 60% des hommes sont actuellement inscrits à un cours de mathématiques. 80% des filles sont actuellement inscrites à un cours de mathématiques. Quelle est la probabilité qu'un élève choisi au hasard soit une femme inscrite à un cours de mathématiques?

Ici nous laissons F indiquer l'événement «L'étudiante sélectionnée est une femme» et M l'événement "L'élève sélectionné est inscrit à un cours de mathématiques." Nous devons déterminer la probabilité de l'intersection de ces deux événements, ou P (M ∩ F).

La formule ci-dessus nous montre que P (M ∩ F) = P (M | F) x P (F). La probabilité qu'une femme soit sélectionnée est P (F) = 280/400 = 70%. La probabilité conditionnelle que l'étudiant sélectionné soit inscrit à un cours de mathématiques, étant donné qu'une femme a été sélectionnée est P (M | F) = 80%. Nous multiplions ces probabilités ensemble et constatons que nous avons une probabilité de sélectionner une étudiante inscrite à un cours de mathématiques de 80% x 70% = 56%.

Test d'indépendance

La formule ci-dessus, qui relie la probabilité conditionnelle et la probabilité d'intersection, nous permet de savoir facilement si nous avons affaire à deux événements indépendants. Depuis les événements UNE et B sont indépendants si P (A | B) = P (A), il découle de la formule ci-dessus que les événements UNE et B sont indépendants si et seulement si:

P (A) x P (B) = P (A ∩ B)

Donc si on sait que P (A) = 0.5, P (B) = 0.6 et P (A ∩ B) = 0,2, sans rien savoir d'autre, nous pouvons déterminer que ces événements ne sont pas indépendants. Nous le savons parce que P (A) x P (B) = 0,5 x 0,6 = 0,3. Ce n'est pas la probabilité de l'intersection de UNE et B.