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Qu'est-ce que la probabilité conditionnelle?

Qu'est-ce que la probabilité conditionnelle?

Un exemple simple de probabilite conditionnelle est la probabilité qu'une carte tirée d'un jeu de cartes standard soit un roi. Il y a un total de quatre rois sur 52 cartes, et la probabilité est donc simplement 4/52. La question suivante se rapporte à ce calcul: "Quelle est la probabilité que nous tirions un roi du fait que nous avons déjà tiré une carte du jeu et qu’il s’agit d’un as?" Ici, nous considérons le contenu du jeu de cartes. Il y a toujours quatre rois, mais maintenant il n'y a que 51 cartes dans le paquet. La probabilité de tirer un roi étant donné qu'un as a déjà été tiré est de 4/51.

La probabilité conditionnelle est définie comme étant la probabilité d'un événement étant donné qu'un autre événement s'est produit. Si nous nommons ces événements UNE et B, alors nous pouvons parler de la probabilité de UNE donné B. Nous pourrions aussi nous référer à la probabilité de UNE dépendant de B.

Notation

La notation pour la probabilité conditionnelle varie d'un manuel à l'autre. Dans toutes les notations, l'indication est que la probabilité dont nous parlons dépend d'un autre événement. Une des notations les plus courantes pour la probabilité de UNE donné B est P (A | B). Une autre notation utilisée est PB( UNE ).

Formule

Il existe une formule pour la probabilité conditionnelle qui relie celle-ci à la probabilité de UNE et B:

P (A | B) = P (A B) / P (B)

Cette formule dit essentiellement que pour calculer la probabilité conditionnelle de l'événement UNE compte tenu de l'événement B, nous modifions notre espace d’échantillon pour qu’il ne soit constitué que de l’ensemble B. Ce faisant, nous ne considérons pas tout l'événement UNE, mais seulement la partie de UNE qui est également contenu dans B. L'ensemble que nous venons de décrire peut être identifié en termes plus familiers comme l'intersection de UNE et B.

Nous pouvons utiliser l'algèbre pour exprimer la formule ci-dessus d'une manière différente:

P (A ∩ B) = P (A | B) P (B)

Exemple

Nous reviendrons sur l'exemple avec lequel nous avons commencé à la lumière de ces informations. Nous voulons connaître la probabilité de tirer un roi étant donné qu'un as a déjà été tiré. Ainsi l'événement UNE est-ce que nous dessinons un roi. un événement B est-ce que nous tirons un as.

La probabilité que les deux événements se produisent et que nous tirions un as puis un roi correspond à P (A ∩ B). La valeur de cette probabilité est 12/2652. La probabilité de l'événement B, que nous tirions un as est 4/52. Nous utilisons donc la formule de probabilité conditionnelle et voyons que la probabilité de tirer un roi donné par rapport à un as est de (16/2652) / (4/52) = 4/51.

Un autre exemple

Pour un autre exemple, nous allons regarder l'expérience de probabilité où nous lançons deux dés. Une question que nous pourrions poser est la suivante: «Quelle est la probabilité que nous ayons obtenu un résultat égal à trois, étant donné que nous avons obtenu une somme inférieure à six?

Ici l'événement UNE est-ce que nous avons roulé un trois, et l'événement B est que nous avons roulé une somme inférieure à six. Il y a un total de 36 façons de lancer deux dés. Sur ces 36 façons, nous pouvons obtenir une somme inférieure à six de dix façons:

  • 1 + 1 = 2
  • 1 + 2 = 3
  • 1 + 3 = 4
  • 1 + 4 = 5
  • 2 + 1 = 3
  • 2 + 2 = 4
  • 2 + 3 = 5
  • 3 + 1 = 4
  • 3 + 2 = 5
  • 4 + 1 = 5

Événements indépendants

Dans certains cas, la probabilité conditionnelle de UNE compte tenu de l'événement B est égal à la probabilité de UNE. Dans cette situation, on dit que les événements UNE et B sont indépendants les uns des autres. La formule ci-dessus devient:

P (A | B) = P (A) = P (A ∩ B) / P (B),

et nous récupérons la formule que pour des événements indépendants la probabilité de la UNE et B se trouve en multipliant les probabilités de chacun de ces événements:

P (A ∩ B) = P (B) P (A)

Lorsque deux événements sont indépendants, cela signifie qu'un événement n'a aucun effet sur l'autre. Tourner une pièce de monnaie, puis une autre, est un exemple d’événements indépendants. Un lancer de pièce n'a aucun effet sur l'autre.

Précautions

Soyez très prudent pour identifier quel événement dépend de l'autre. En général P (A | B) n'est pas égal à P (B | A). C'est la probabilité de UNE compte tenu de l'événement B est pas la même que la probabilité de B compte tenu de l'événement UNE.

Dans l'exemple ci-dessus, nous avons vu qu'en lançant deux dés, la probabilité de lancer un trois, étant donné que nous avons lancé une somme inférieure à six, était de 4/10. Par contre, quelle est la probabilité de rouler une somme inférieure à six étant donné que nous avons roulé un trois? La probabilité d'obtenir un trois et une somme inférieure à six est de 4/36. La probabilité de rouler au moins un trois est de 11/36. La probabilité conditionnelle dans ce cas est donc (4/36) / (11/36) = 4/11.